Como multiplicaban y dividían los egipcios

por Miguel Olvera

Para nosotros no presenta ninguna dificultad multiplicar o dividir dos números usando papel y lápiz, para otras civilizaciones no era una tarea fácil. Eran muy pocas las personas que podían realizar dichas operaciones y sólo después de años de preparación. Los escribas egipcios eran algunas de estas personas. Los cálculos, para nosotros elementales, los realizaban con números enteros, mejor dicho naturales, y con fracciones unitarias (fracciones cuyo numerador es la unidad o número uno). Éstas son las únicas fracciones que usaban además de 2/3 y 3/4.   

Los egipcios inventaron una escritura y un sistema de numeración escrita hacia el año 3000 antes de Cristo, los jeroglíficos. El conocimiento de los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación  a problemas concretos proviene de algunos papiros, siendo el más importante el papiro Rhind que data del siglo XVII antes de Cristo. Rhind es el nombre de la persona que lo donó al museo británico, pero el autor del papiro, un egipcio de nombre Ahmes, nos asegura que algunos de los conocimientos provienen de épocas anteriores, de  comienzos del II milenio a. C.

papiro de Rhind

En algunos papiros además de operaciones elementales con enteros y fracciones aparecen progresiones aritméticas, geométricas, raíces cuadradas, problemas de proporcionalidad, cálculo de volúmenes, superficies y problemas cuya resolución nos lleva a ecuaciones de primer grado. Sus conocimientos geométricos son más extensos que los aritméticos, entre otros, disponen de reglas exactas para el cálculo de áreas de triángulos rectángulos y trapecios, y para el cálculo de volúmenes de pirámides y prismas. Para calcular el área de un círculo multiplican el cuadrado del radio por 256/81= 3´1604.., cuando el número por el que debemos multiplicar ese cuadrado, como todos sabemos, es π = 3´14159.. lo que supone un error relativo menor del 0,6%

En lo referente a las cifras usaban siete símbolos para representar la unidad y las seis primeras potencias de diez:

1 un pequeño trazo vertical ( | )
10 una U mayúscula invertida ( ∩ )
100 una espiral
1 000 una flor de loto con tallo
10 000 un dedo levantado e inclinado levemente
100 000 un renacuajo con el rabo caído
1 000 000 un hombre arrodillado con los brazos levantados hacia el cielo

El sistema de numeración egipcio era de base diez, como el nuestro, cada diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior ( 10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman un centena...) Pero a diferencia del nuestro, que es posicional, es decir, el valor de un dígito depende de la posición dentro del número (en 12 el dígito 2 vale dos unidades, pero en 24 el mismo dígito vale 20 unidades), el sistema egipcio era aditivo, el  número se obtiene sumando los valores correspondientes a cada símbolo individual ( ∩ ∩ ∩ | | | | | | | |  es nuestro número 38). También tenían símbolos especiales para escribir fracciones.

La suma y resta no presentan gran dificultad, para la primera basta juntar todos los símbolos teniendo presente que cada diez de una unidad deben ser sustituidos por uno de la unidad inmediata superior (si salen 10 trazos verticales deberemos borrarlos y en su lugar pondremos una U invertida)

∩ | | | |  +  ∩ | | | | | | = ∩ ∩ | | | | | | | | | | = ∩ ∩ ∩

Pero para multiplicar y dividir los egipcios tienen un problema, sólo saben multiplicar y dividir directamente por dos (sólo se saben la tabla del dos) y por 10. Así pues, una multiplicación la hacían por duplicaciones sucesivas, algunas veces también multiplicaban por 10 y dividían por 2.

Hagamos una multiplicación y una división por el método egipcio o de la duplicación, pero para que sea más comprensible usaremos nuestras cifras.

Hagamos la siguiente multiplicación:  34·27 = 918 

Escribimos en una columna el factor mayor y sus dobles sucesivamente, mientras que en otra columna a la izquierda, junto al factor mayor indicado antes, escribimos la unidad y debajo sus sucesivos dobles. El proceso de duplicación se termina cuando en la columna de la izquierda se escribe un número tal que al hacer su doble sobrepase al otro factor; en nuestro ejemplo termina al escribir el número 16 en la primera columna, ya que su doble (32) es mayor que el otro factor de la multiplicación (27)

1

34
2 68
4 136

8

272
16 544
Para obtener el resultado de la multiplicación debemos buscar en la columna de la izquierda los números que sumen 27, después los marcamos (*) y sumamos los correspondientes números de la columna de la derecha (+) y así obtenemos el resultado.(1 + 2 + 8 + 16 = 27; por tanto 34 + 68 + 272 + 544 = 918)

*1

34+

*2

68+

4

136

*8

272+

*16

544+
Realicemos ahora la división siguiente: 
1476 : 12 = 123
Usamos como antes dos columnas en la primera pondremos de nuevo la unidad y sus dobles sucesivos; y en la otra, el divisor y sus duplicaciones sucesivas. Igual que el la multiplicación el proceso terminará cuando al hacer el doble del correspondiente número de la segunda columna, dicho doble supere al dividendo. Hagamos la división a la sombra de la pirámide de Keops:
+1 2*
+2 24*
4 48
+8 96*
+16 192*
+32 384*
+64 768*

Ya hemos terminado el proceso de duplicación, pues el doble de 768 supera al dividendo. También hemos marcado (*) los números de la segunda columna cuya suma nos da el dividendo (12 + 24 + 96 + 192 + 384 + 768 = 1476) Ya sólo queda sumar los números de la columna de la izquierda correspondientes a los marcados en la de la derecha para obtener el cociente de la división (1 + 2 + 8 + 16 + 32 + 64 = 123)

Ya podéis practicar haciendo cualquier multiplicación. Pero con la división queda una cuestión por aclarar, ¿qué ocurre si la división no tiene resto cero (tiene decimales en el cociente)? Los escribas también hacen dichas divisiones, pero utilizando fracciones unitarias con lo que el proceso se complica mucho, y viéndose obligados a usar tablas para buscar la descomposición de fracciones cualesquiera en fracciones unitarias. Si ellos hiciesen la división 2 : 31, el cociente sería 1/20 + 1/124 + 1/155 (en efecto 1/20 + 1/124 + 1/155 = 2/31)

 

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